Група Математики

Формули геометричної прогресії

Група Математики

Програма з математики передбачає, що в кінці вивчення теми учні будуть опізнани з поняттями:

Геометрична прогресія, її властивості. Формула п-го члена геометричної прогресії. Сума перших п членів геометричної прогресії. Нескінченна геометрична прогресія (½g½< 1) та її сума.

та будуть вправно розв’язувати вправи і задаіч на прогресії, в тому числі прикладного змісту.

Учень 

Розпізнає геометричну прогресії серед даних послідовностей.

Наводить приклади  геометричної прогресій.

Формулює означення геометричної прогресіїй, їїх властивості.

Записує і пояснює формули: загального члена геометричної прогресій; суми перших n членів прогресіїй, суми нескінченної геометричної прогресії (½g½< 1).

Розв’язує вправи, що передбачають:

обчислення членів прогресії; задання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними; обчислення сум перших n членів геометричної прогресій; запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного; використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих елементів прогресій. 

          Хочете це вміти?

      Почнемо!

Геометричною прогресією називається така числова послідовність , кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те ж саме стале для даної послідовності число, відмінне від нуля. Перший член геометричної прогресії передбачається відмінним від нуля.  називається п-им членом геометричної прогресії.

З визначення геометричної прогресії випливає, що . Число 

називається знаменником геометричної прогресії. Таким чином,

 .

Для того, щоб задати геометричну прогресію , достатньо знати її перший член і знаменник.

Якщо  і , то геометрична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку геометрична прогресія є сталою послідовністю, яка розглядається рідко.

Характеристичні властивості геометричної прогресії формулюються в такий спосіб:

а) у геометричній прогресії, усі члени якої додатні числа, будь-який її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусідніх з ним членів, тобто при 

;

б) добуток членів, рівновіддалених від кінців геометричної прогресії, є величиною сталою, тобто

 .

Формула п-го члена геометричної прогресії має вигляд

.

Формула для суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд .

Нескінченно спадною геометричною прогресією називають таку геометричну прогресію , у якої знаменник  і яка містить 

нескінченне число доданків. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою